斜激波与湍流边界层相互作用流动中激波后湍流的恢复

“Post-shock turbulence recovery in oblique-shock/turbulent boundary layer interaction flows”由Ming Yu、SiWei Dong等人撰写，发表于Journal of Fluid Mechanics 2023年第961卷A26期。论文通过直接数值模拟，研究了斜激波与超音速湍流边界层相互作用后激波后区域的湍流恢复过程，重点分析了混合层和大尺度结构对流动动力学的影响。

1. 研究背景

激波与湍流边界层相互作用在工程领域有重要应用，如航空航天中的飞行器设计。当超音速湍流边界层受到斜激波冲击时，会引发一系列复杂的流动现象。在相互作用区域，入射激波和反射激波会导致压力升高、平均流动减速，甚至因壁面附近低动量流体而出现流动分离。流动分离产生的混合层与自由混合层的统计特性相似，且会引发Kelvin–Helmholtz不稳定性，诱导大尺度脱落涡的产生。这些流动现象会导致速度和压力波动，影响壁面热通量、压力波动以及质量和动量的交换。同时，相互作用区域附近的流动处于非平衡状态，其统计特性和流动结构的恢复需要一定的流向距离，这对湍流模型的准确捕捉提出了挑战。

2. 物理模型和数值实现

2.1 物理模型

研究对象为来流马赫数、温度 K、雷诺数的充分发展超音速湍流边界层。通过在顶部边界施加无粘Rankine–Hugoniot（RH）跳跃条件来模拟楔形体产生的斜激波，楔形体角度设为，斜激波在处与边界层以角冲击，这种参数设置下相互作用区域的流动会经历轻度分离。

2.2 控制方程

流动由三维可压缩牛顿流体的Navier–Stokes方程控制，满足质量、动量和能量守恒，在笛卡尔坐标系下的方程为：

同时，热力学量满足完全气体状态方程，粘性应力和热传递由牛顿流体本构方程确定，动态粘度由Sutherland定律确定，热导率，普朗特数。

2.3 边界条件与数值方法

来流湍流边界层的平均速度由Musker（1979）提出的公式给出，速度波动通过合成数字滤波方法生成，温度的平均和波动由速度的相应量通过广义雷诺类比确定。顶部和流出边界采用Pirozzoli & Colonius（2013）提出的无反射条件，但顶部边界需额外施加无粘RH跳跃条件；底部壁面采用无滑移、无穿透条件以及等温条件，温度设为；展向采用周期性条件。

数值模拟使用开源的“STREAmS”求解器，通过有限差分法求解控制方程。对流项根据不同情况分别采用六阶动能保持格式和五阶加权本质无振荡格式，粘性项采用六阶中心差分格式，时间推进采用Wray的三阶三步格式。计算域在流向、壁面法向和展向的尺寸分别设为、和，并在三个方向上分别用2000×320×240个网格离散。

3. 平均速度和雷诺应力

3.1 平均速度

选取作为参考站，以及相互作用区域下游的、、、和等站位来分析激波后区域的湍流演化。

参考站处的van Driest变换速度遵循典型壁面约束湍流的规律，在粘性底层遵循线性定律，在以上遵循对数定律。相互作用区域下游的站位，对数区域的截距显著低于标准值5.0，尾流区域速度升高，表明壁面剪切应力降低，以上平均剪切增强。随着流向距离增加，平均速度剖面逐渐恢复到典型壁面约束湍流的剖面，在站位，对数区域截距重新上升到5.0，混合层的残留影响基本消失。

3.2 雷诺应力

与参考站相比，所有雷诺应力分量在相互作用区域下游都增强，尤其是在外部区域。外部区域的峰值在流向方向上逐渐减小，但直到计算域末端仍显著存在，说明大尺度运动的衰减需要比更长的流向距离。

在的内部区域，下游的和逐渐接近处的值，可视为“附着涡模型”中的“分离变量”。而和受雷诺数和外部区域大尺度运动的影响较大，在下游以下趋于均匀分布，但明显高于参考站值；则持续减小，直到才收敛。综合考虑，可通过或来判断近壁湍流的恢复情况，近壁湍流在时恢复到典型平衡状态。

4. 混合层对皮肤摩擦的贡献

4.1 提取混合层

为定量描述混合层分布，构建典型壁面约束湍流的平均速度剖面，混合层诱导部分。通过特定公式构建van Driest变换后的典型平均剖面，该公式在不同区域有不同的表达式，如在缓冲层从参考站插值，对数区域且由标准对数定律构建等。通过反向van Driest变换得到分布，结果表明构建的典型平均速度分布与、和处相符，验证了其有效性。

混合层诱导部分在壁面法向于处达到最大值，随后单调减小，且混合层与边界层厚度同步增长。在和处，混合层对平均流动的影响减弱，其对平均速度的贡献小于4%。对的平均梯度分析发现，最大速度梯度位于，且与流向位置关系不大。

4.2 分解雷诺剪切应力和皮肤摩擦

进一步提取激波后区域混合层诱导的雷诺剪切应力，将总剪切应力分解为：

混合层诱导的雷诺剪切应力。通过Renard & Deck（2016）提出的皮肤摩擦分解公式评估混合层诱导的平均剪切和雷诺剪切应力对皮肤摩擦的贡献，该公式经Fan、Li & Pirozzoli（2019）扩展到可压缩湍流边界层：

通过分析各分项发现，混合层诱导的大尺度运动对皮肤摩擦的贡献较小，皮肤摩擦主要由典型粘性和雷诺应力分量和构成。

5. 湍动能

5.1 分解湍动能

由于直接构建速度波动方差的典型部分具有挑战性，论文采用“内外分解”策略，将参考站处的展向谱视为典型近壁部分，混合层诱导部分通过相减得到。

以站位为例，典型部分的谱分布与低雷诺数典型壁面约束湍流相似，如流向分量在处达到最大值，特征长度尺度为。原始谱中，流向分量有两个峰值，分别代表近壁小尺度低速条纹和外部大尺度运动；壁面法向和展向分量在外部区域有峰值，且尺度空间分布更广。混合层诱导部分的谱显示，流向分量在内部小尺度区域出现负值，外部区域峰值保留并对近壁区域有影响；壁面法向速度不受大尺度运动叠加影响；展向分量与流向分量相似，但叠加效应更强。

对混合层诱导谱积分得到速度波动方差（雷诺正应力分量），结果表明湍流波动强度沿流向减小，各应力分量峰值位置逐渐降低，且混合层诱导速度方差不对称。雷诺应力各分量的各向异性在到近似恒定，通过计算雷诺应力各向异性张量的第二和第三不变量发现，该区域湍流处于近似轴对称扩张状态，与混合层中湍流的典型状态一致。

5.2 湍动能的输运

通过分析湍动能输运方程的各项预算，研究湍动能的产生、耗散和输运机制。在的流动中，压力膨胀和质量扩散项可忽略，湍动能主要由平均剪切产生并通过粘性耗散，在范围内，耗散项与产生项的比值约为0.8。平均流动平流和湍流扩散在湍动能输运中起重要作用，在、和站位影响显著，在和站位，主要由产生项和耗散项主导。

将湍流产生项分解为典型和混合层诱导部分的贡献，发现站位和项占主导，随着流向发展，贡献减小，贡献增加。混合层诱导的雷诺剪切应力在很长的流向范围内都有贡献，且在外部区域无减小趋势。

6. 讨论

由于大尺度湍流运动耗散缓慢，直接模拟到完全恢复计算成本高昂。受Ding & Smits（2021）研究启发，论文建立了一个简化物理模型来描述混合层诱导的平均剪切和动能的流向演化。通过对平均动能和湍动能输运方程在壁面法向积分，并进行一系列假设和简化，得到关于混合层诱导部分能量通量的常微分方程：

模型结果表明，混合层诱导的平均剪切迅速衰减，湍动能呈指数衰减恢复，且湍动能完全恢复可能需要超过50个边界层厚度的流向距离，这与Ding & Smits（2021）对粗糙管中湍流演化的研究结果定性一致，但本文研究的流动中未观察到雷诺应力的振荡现象。

7. 研究结论

论文通过直接数值模拟研究了斜激波与超音速湍流边界层相互作用激波后区域的湍流演化。提出将平均速度和雷诺剪切应力分解为典型和混合层诱导部分的方法，发现混合层随边界层厚度增长，诱导的平均剪切和雷诺剪切应力不对称。平均流动在相互作用区域下游13个边界层厚度处恢复到平衡状态，此时混合层对平均流动的强影响消失。

通过Renard–Deck皮肤摩擦分解发现，相互作用区域上游皮肤摩擦主要由粘性应力和雷诺剪切应力贡献，下游平流项增强，但主要由混合层相关项平衡，典型部分仍主导皮肤摩擦贡献。混合层诱导的湍动能通过去除典型近壁谱提取，内部区域速度方差在10个边界层厚度处恢复平衡，外部区域大尺度运动衰减缓慢，且其各向异性与不可压缩和弱可压缩混合层相似。

此外，基于DNS结果建立的简单模型预测了平均流动和湍动能的演化，与DNS结果相符，进一步表明大尺度运动呈指数衰减，湍流完全恢复到典型状态可能需要超过50个边界层厚度的流向距离。